Question

如圖，PA為圓的切線，A為切點，PBC為割線，∠APC的平分線交AB于點D，交AC于點E．
求證：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．

Answer 1

證明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．

（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得 ．
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得 ．
∴．
∴AB•AE=AC•DB．
分析：（1）要證明AD=AE，只需證明∠ADE=∠AED；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和弦切角定理即可證明；
（2）要證明AB•AE=AC•DB，只需證明 ，根據(jù)△APB∽△CPA，得 ，根據(jù)△PBD∽△PEA，得 ，聯(lián)立兩式，可得出所求的結(jié)論．
點評：本題考查了弦切角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解答（2）題的關(guān)鍵．