Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)面SAB是等腰三角形且垂直于底面，SA=SB=

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，AB=2，E、F分別是AB、SD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面SBC：
（2）求二面角F-CE-A的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以E為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過E垂直于AB的直線為x軸，以EA為y軸，ES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥平面SBC．
（2）求出平面CEF的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角F-CE-A的余弦值．

解答： （1）證明：以E為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過E垂直于AB的直線為x軸，
以EA為y軸，ES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得E（0，0，0），D（2，1，0），
S（0，0，2），F(xiàn)（1，

1

2

，1），
B（0，-1，0），C（2，-1，0），

SB

=（0，-1，-2），

SC

=（2，-1，-2），
設(shè)平面SBC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • SB =-y-2z=0 n • SC =2x-y-2z=0

，取y=2，得

n

=（0，2，-1），

EF

=（1，

1

2

，1），
∵

EF

•

n

=0，EF在平面SBC外，
∴EF∥平面SBC．
（2）解：設(shè)

m

=（a，b，c）為平面CEF的法向量，
∵

EC

=(2，-1，0)，

EF

=(1，

1

2

，1)，
∴

m • EC =2a-b=0 m • EF =a+ 1 2 b+c=0

，取a=1，得

m

=（1，2，-2），
又

p

=（0，0，1）是平面ACE的法向量，
設(shè)二面角F-CE-A的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

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|=

2

3

，
∴二面角F-CE-A的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．