Question

圓C過點(diǎn)A（6，0），B（1，5），且圓心在直線l：2x-7y+8=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）P為圓C上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)Q（8，0），求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出AB的垂直平分線m的方程為，利用圓心是直線m與直線l的交點(diǎn)，可得圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）利用代入法，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（1）直線AB的斜率k=

5-0

1-6

=-1，
所以AB的垂直平分線m的斜率為1．---------------------------（2分）
AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x=

6+1

2

=

7

2

，y=

0+5

2

=

5

2

．
因此，直線m的方程為y-

5

2

=1(x-

7

2

)．即x-y-1=0．--------------------（4分）
又圓心在直線l上，所以圓心是直線m與直線l的交點(diǎn)．聯(lián)立方程組

x-y-1=0 2x-7y+8=0

解得

x=3 y=2

--------------------------（6分）
所以圓心坐標(biāo)為C（3，2），又半徑r=|CA|=

13

，
則所求圓的方程是（x-3）²+（y-2）²=13．----------------------------（8分）
（2）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀）
M為線段PQ的中點(diǎn)，則

x0+8 2 =x y0+0 2 =y

，-----------------------------（9分）
解得

x0=2x-8 y0=2y

．P（2x-8，2y）代入圓C中得（2x-8-3）²+（2y-2）²=13，
即線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-

11

2

)2+(y-1)2=

13

4

．-----------（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查代入法的運(yùn)用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．