Question

已知橢圓的離心率為， 以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，連結(jié)、分別交直線于、兩點(diǎn)．試問(wèn)直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進(jìn)而求橢圓的方程；（2）要說(shuō)明直線、的斜率之積是否為定值，關(guān)鍵是確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo).首先設(shè)直線的方程，并與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用三點(diǎn)共線確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)，再計(jì)算直線、的斜率之積，這時(shí)會(huì)涉及到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，研究其值是否為定值即可．

試題解析：（1），故 4分

（2）設(shè)，若直線與縱軸垂直，

則中有一點(diǎn)與重合，與題意不符，

故可設(shè)直線. 5分

將其與橢圓方程聯(lián)立，消去得：

6分

7分

由三點(diǎn)共線可知，，， 8分

同理可得 9分

10分

而 11分

所以

故直線、的斜率為定值. 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系.