【題目】已知橢圓的左、右焦點為別為F1、F2，且過點和．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，點A為橢圓上一位于x軸上方的動點，AF2的延長線與橢圓交于點B，AO的延長線與橢圓交于點C，求△ABC面積的最大值，并寫出取到最大值時直線BC的方程．

【答案】（1） （2）y=

【解析】

（1）將兩點代入橢圓方程，求出a，b，然后求解橢圓的標準方程．

（2）設AF2的方程為x=ty+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式，點到直線的距離求解三角形的面積結合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可．

解：（1）將兩點代入橢圓方程，有解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）因為A在x軸上方，可知AF2斜率不為0，故可以設AF2的方程為x=ty+1，，

得，所以，

設原點到直線AF2的距離為d，則，

所以S△ABC=2S△OAB

=

=

=，△ABC面積的最大值為．

在t=0時取到等號成立，此時AB的方程為：x=1，

可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），

此時BC的方程為：y=，

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A. B. C. D.

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