已知：如圖，在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B上的點(diǎn)，A1M=
1
3
A1B，N是B1D1上的點(diǎn)，B1N=
1
3
B1D1．
求證：（I）MN是異面直線A1B與B1D1的公垂線；
      （II）求線段MN的長．
分析：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，推出A1，B1，D1，B，M，N的坐標(biāo)，求出
MN
•
A1B
=0，
MN
•
B1D1
=0，即可證明MN是異面直線A1B與B1D1的公垂線；
（2）求出
MN
，再求出它的模，得出它的長度即可．
解答：（1）證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，
則A1（0，0，1），B1（1，0，1），D1（0，1，1），B（1，0，0），
∵A1M=
1
3
A1B，B1N=
1
3
B1D1，
∴M（
1
3
，0，
2
3
），N（
2
3
，
1
3
，1）
∴
A1B
=(1，0，-1)，
B1D1
=（-1，1，0），
MN
=(
1
3
，
1
3
，
1
3
)，
MN
•
A1B
=(1，0，-1)• (
1
3
，
1
3
，
1
3
)=
1
3
×1+0×
1
3
-1×
1
3
=0，
MN
•
B1D1
=(-1，1，0)• (
1
3
，
1
3
，
1
3
)=-1×
1
3
+1×
1
3
+0×
1
3
=0
∴MN⊥A1B，MN⊥B1D1，又MN與A1B和B1D1都相交
故MN是異面直線A1B與B1D1的公垂線．…10分
（2）解：因?yàn)?span id="jxxbl33" class="MathJye">
MN
=(
1
3
，
1
3
，
1
3
)，
所以|MN|=
(
1
3
)2+(
1
3
)2+(
1
3
)2
=
3
3
∴MN的長為
3
3
 …12分．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查異面直線的公垂線的證明方法，線段長度的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2：矩陣及其變換
（1）如圖，向量
OA
和
OB
被矩陣M作用后分別變成
OA′
和
OB′
，
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+
π
3
)在M作用后的函數(shù)解析式；
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
（ 2）在直角坐標(biāo)系x0y中，直線l的參數(shù)方程為
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系x0y取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，
5
），求|PA|+|PB|．
選修4-5：不等式選講
（3）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)請(qǐng)考生在第（1），（2），（3）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
（1）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F．
（Ⅰ）求
BF
FC
的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1：S2的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，a=
π
6
軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長度．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），傾斜角a=
π
6
．
（ I）寫出直線l的參數(shù)方程；
（ II）設(shè)l與圓ρ=2相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相
交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為
2
10
，
2
5
5
．
（1）求tan(-
19π
4
+α+β)的值；
（2）求α+2β的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省四地六校聯(lián)考高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

選修4-2：矩陣及其變換
（1）如圖，向量被矩陣M作用后分別變成，
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函數(shù)解析式；
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
（ 2）在直角坐標(biāo)系x0y中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系x0y取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），求|PA|+|PB|．
選修4-5：不等式選講
（3）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省四地六校聯(lián)考高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

選修4-2：矩陣及其變換
（1）如圖，向量被矩陣M作用后分別變成，
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函數(shù)解析式；
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
（ 2）在直角坐標(biāo)系x0y中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系x0y取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），求|PA|+|PB|．
選修4-5：不等式選講
（3）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

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