Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相
交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為

2

10

，

2 5

5

．
（1）求tan(-

19π

4

+α+β)的值；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）由條件求得cosα、cosβ的值，根據(jù)α、β為銳角，求得sinα、sinβ的值，從而求得tanα、tanβ的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（α+β），再利用誘導(dǎo)公式求得tan(-

19π

4

+α+β)的值．
（2）利用兩角和的正切公式求得tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]的值，再根據(jù)α+2β的范圍，求得α+2β的值．

解答：解：（1）由條件得cosα=

2

10

，cosβ=

2 5

5

，α為銳角，
故sinα＞0且sinα=

7 2

10

．同理可得sinβ=

5

5

，
因此tanα=7，tanβ=

1

2

．
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

7+ 1 2

1-7× 1 2

=-3．
∴tan(-

19π

4

+α+β)=tan(α+β-

3π

4

)=

tan(α+β)-tan 3π 4

1+tan(α+β)tan 3π 4

=-

1

2

．
（2）tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=

-3+ 1 2

1-(-3)× 1 2

=-1，
∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
∴0＜α+2β＜

3π

2

，從而α+2β=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．