Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D為BB₁的中點，E為AB₁上的一點，AE=3EB₁．
（Ⅰ）證明：DE為異面直線AB₁與CD的公垂線；
（Ⅱ）設異面直線AB₁與CD的夾角為45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證DE為異面直線AB₁與CD的公垂線，即證DE與異面直線AB₁與CD垂直相交即可；
（2）將AB₁平移到DG，故∠CDG為異面直線AB₁與CD的夾角，作HK⊥AC₁，K為垂足，連接B₁K，由三垂線定理，得B₁K⊥AC₁，因此∠B₁KH為二面角A₁-AC₁-B₁的平面角，在三角形B₁KH中求出此角即可．
解答：解：（1）連接A₁B，記A₁B與AB₁的交點為F．
因為面AA₁BB₁為正方形，故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，
又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，
又D為BB₁的中點，
故DE∥BF，DE⊥AB₁．
作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點．
又由底面ABC⊥面AA₁B₁B．連接DG，則DG∥AB₁，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD．
所以DE為異面直線AB₁與CD的公垂線．
（2）因為DG∥AB₁，故∠CDG為異面直線AB₁與CD的夾角，∠CDG=45°
設AB=2，則AB₁=，DG=，CG=，AC=．
作B₁H⊥A₁C₁，H為垂足，因為底面A₁B₁C₁⊥面AA₁CC₁，故B₁H⊥面AA₁C₁C．又作HK⊥AC₁，K為垂足，連接B₁K，由三垂線定理，得B₁K⊥AC₁，因此∠B₁KH為二面角A₁-AC₁-B₁的平面角．
B₁H=，C₁H=，AC₁=，HK=
tan∠B₁KH=，
∴二面角A₁-AC₁-B₁的大小為arctan．
點評：本試題主要考查空間的線面關系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計算的能力．三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一，是高考的熱點，它是處理線線垂直問題的有效方法，同時它也是確定二面角的平面角的主要手段．通過引入空間向量，用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化，這是用向量解立體幾何問題的獨到之處．