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17.設函數(shù)f(n)=1n+1+1n+2++13n+1,其中n∈N*,若有f(n)>a24都成立.
(1)求正整數(shù)a的最大值a0;
(2)證明不等式f(n)>a024(其中n∈N*).

分析 (1)由題意可得f(1)取得最小值,即有f(1)>a24,解不等式可得正整數(shù)a的最小值;
(2)運用數(shù)學歸納法證明:1n+1+1n+2++13n+12524.注意驗證n=1,不等式成立;證明n=k+1,不等式也成立,注意運用假設和不等式的性質(zhì).

解答 解:(1)函數(shù)f(n)=1n+1+1n+2++13n+1,其中n∈N*,若有f(n)>a24都成立,
當n=1時,11+1+11+2+13+1a24,即2624a24,
即有a<26,正整數(shù)a的最大值a0=25;
(2)下面運用數(shù)學歸納法證明:1n+1+1n+2++13n+12524
①當n=1時,11+1+11+2+13+12524成立;
②假設當n=k時,不等式成立,即1k+1+1k+2+…+13k+12524,
則當n=k+1時,1k+1+1+1k+1+2+…+13k+1+1
=1k+1+1k+2+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1
2524+13k+2+13k+4-231k+1,
13k+2+13k+4=6k+19k2+18k+823k+1,
可得13k+2+13k+4-231k+1>0,
所以當n=k+1時,不等式也成立.
由①②可得,對一切的正整數(shù)n,1n+1+1n+2++13n+12524
即:對一切的正整數(shù)n,f(n)>a024

點評 本題考查數(shù)列不等式成立及證明,注意運用恒成立思想和數(shù)學歸納法,考查推理和運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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