分析 (1)由題意可得f(1)取得最小值,即有f(1)>a24,解不等式可得正整數(shù)a的最小值;
(2)運用數(shù)學歸納法證明:1n+1+1n+2+…+13n+1>2524.注意驗證n=1,不等式成立;證明n=k+1,不等式也成立,注意運用假設和不等式的性質(zhì).
解答 解:(1)函數(shù)f(n)=1n+1+1n+2+…+13n+1,其中n∈N*,若有f(n)>a24都成立,
當n=1時,11+1+11+2+13+1>a24,即2624>a24,
即有a<26,正整數(shù)a的最大值a0=25;
(2)下面運用數(shù)學歸納法證明:1n+1+1n+2+…+13n+1>2524.
①當n=1時,11+1+11+2+13+1>2524成立;
②假設當n=k時,不等式成立,即1k+1+1k+2+…+13k+1>2524,
則當n=k+1時,1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+13(k+1)+1
=1k+1+1k+2+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1
>2524+13k+2+13k+4-23•1k+1,
由13k+2+13k+4=6(k+1)9k2+18k+8>23(k+1),
可得13k+2+13k+4-23•1k+1>0,
所以當n=k+1時,不等式也成立.
由①②可得,對一切的正整數(shù)n,1n+1+1n+2+…+13n+1>2524.
即:對一切的正整數(shù)n,f(n)>a024.
點評 本題考查數(shù)列不等式成立及證明,注意運用恒成立思想和數(shù)學歸納法,考查推理和運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(x1)≥f(x2) | B. | f(x1)=f(x2) | C. | f(x1)>f(x2) | D. | f(x1)≤f(x2) |
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A. | {a_n}={({\frac{1}{2}})^n},{b_n}={({\frac{2}{3}})^n} | B. | {a_n}={({\frac{1}{3}})^n},{b_n}=\frac{n}{{{n^2}+1}} | ||
C. | {a_n}=\frac{n-1}{n},{b_n}=1+{({\frac{1}{3}})^n} | D. | {a_n}=\frac{n+3}{n+2},{b_n}=\frac{n+2}{n+1} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | q | B. | q2 | C. | qn-1 | D. | qn |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 6 | B. | 8 | C. | 10 | D. | 12 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{\sqrt{6}}{3} | B. | \frac{\sqrt{3}}{3} | C. | \frac{\sqrt{2}}{3} | D. | \frac{1}{3} |
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