Question

8．△ABC的頂點C（x₀，y₀）的坐標(biāo)滿足不等式x²+y²≤8+2y，y≥3，邊AB在x軸上，已知點Q（0，1）與直線AC及BC的距離均為1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)出過C的直線方程，利用點Q（0，1）與直線AC及BC的距離均為1，求出直線AC及BC的斜率關(guān)系，求出兩點坐標(biāo)，得到AB距離，表示三角形的面積，然后判斷C的位置求解最值．

解答 解：設(shè)過C的直線的斜率為k，則直線方程為：y-y₀=k（x-x₀），點Q（0，1）與直線AC及BC的距離均為1，
可得：$\frac{|1+k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，整理可得（x₀²-1）k²+2k（1-y₀）x+y₀²-2y₀=0，
可得${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-1）}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，令y=0，
可得${x}_{A}=-\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}+{x}_{0}$，${x}_{B}=-\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}+{x}_{0}$，|x_A-x_B|=$|\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}-\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}|$=${y}_{0}|\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}|$=$\frac{|{{x}_{0}}^{2}-1|\sqrt{\frac{4{{x}_{0}}^{2}（{{y}_{0}-1）}^{2}}{（{{x}_{0}}^{2}-1）^{2}}-\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}）（{{x}_{0}}^{2}-1）}{{{（x}_{0}}^{2}-1）^{2}}}}{{y}_{0}-2}$=$\frac{2\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}}}{{y}_{0}-2}$．
S=$\frac{1}{2}|{x}_{A}-{x}_{B}|•{y}_{0}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{（y}_{0}-1）}^{2}-1}•\frac{{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$；
$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}-1}$表示C與（0，1）的距離最遠(yuǎn)，表達(dá)式取得最大值，$\frac{{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$是增函數(shù)，
∴S≤$\sqrt{9-1}$$•\frac{3}{3-2}$=6$\sqrt{2}$，此時y₀=3．

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求解，點到直線的距離公式公式，三角形面積的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．