Question

14．如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，A₁B⊥BB₁，若AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{7}$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． ：當(dāng)AA₁=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積取得最大值，最大值為$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
• B． ：當(dāng)AA₁=$\frac{6}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積取得最大值，最大值為$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
• C． ：當(dāng)AA₁=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積取得最大值，最大值為$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$
• D． ：當(dāng)AA₁=$\frac{6}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積取得最大值，最大值為$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 作AO⊥B 于O，連結(jié)A₁O，推導(dǎo)出∠AA₁O=90°，設(shè)A₁A=h，求出A₁O的表達(dá)式，以及三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積V的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值，求最大值．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴A₁A∥CC₁∥BB₁，
∵AA₁⊥BC，∴CC₁⊥BC，∵A₁B⊥BB₁，∴A₁B⊥CC₁，
∵BC∩BA₁=B，∴CC₁⊥平面BA₁C，∴AA₁⊥平面BA₁C，
∴∠AA₁O=90°，
作AO⊥BC于O，連結(jié)A₁O，
∵AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{7}$，∴AB⊥AC，∴AO=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
設(shè)A₁A=h，A₁O=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）^{2}-{h}^{2}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}-{h}^{2}}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積V=S${\;}_{△BC{A}_{1}}$•h=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}×\sqrt{\frac{12}{7}-{h}^{2}}×h$=$\frac{1}{2}\sqrt{12{h}^{2}-7{h}^{4}}$，
當(dāng)h²=$\frac{6}{7}$，即h=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)，即AA₁=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)棱柱的體積最大，最大值為：$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，幾何體的體積的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．