Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}前n項的和為T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列性質(zhì)求出首項和公差，由此能求出an=

5

3

n．
（Ⅱ）由bn=

1

5 3 n• 5 3 (n+1)

=

9

25

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}前n項的和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設公差為d，
∵公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
∴

a1+2d=5 (a1+d)2=a1(a1+3d) a1≠0

，
解得：a1=

5

3

，d=

5

3

，得an=

5

3

n（n∈N^*）
（Ⅱ）由題意an=

5

3

n，
∴bn=

1

5 3 n• 5 3 (n+1)

=

9

25

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

9

25

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

9

25

(1-

1

n+1

)
=

9n

25(n+1)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．