Question

某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有1，2，3三個(gè)問題，每位參賽者按問題1，2，3的順序作答，競(jìng)賽規(guī)則如下：
①每位參賽者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問題1，2，3分別加1分，2分，3分，答錯(cuò)任一題減2分；
②每回答一題，積分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于12分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完三題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足12分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局．
已知甲同學(xué)回答1，2，3三個(gè)問題正確的概率依次為

3

4

，

1

2

，

1

3

，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
（2）用X表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用甲同學(xué)回答1，2，3三個(gè)問題正確的概率依次為

3

4

，

1

2

，

1

3

，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式，可求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
（2）確定甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)事件A：“甲同學(xué)回答1正確”；B：“甲同學(xué)回答2正確”；C：“甲同學(xué)回答3正確”，則P（A）=

3

4

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

3

．
記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件D，則P（D）=

3

4

•

1

2

•

1

3

+

3

4

•

1

2

+

1

4

•

1

2

•

1

3

=

13

24

；
（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．則
P（X=6）=P(

.

A

.

B

)=

1

4

×

1

2

=

1

8

；P（X=7）=P(A

.

B

.

C

)=

3

4

×

1

2

×

2

3

=

1

4

；P（X=8）=P（

.

A

B

.

C

）=

1

4

×

1

2

×

2

3

=

1

12

；P（X=12）=P(A

.

B

C)=

3

4

×

1

2

×

1

3

=

1

8

；
P（X=13）=P(AB+

.

A

BC)=

3

4

×

1

2

+

1

4

×

1

2

×

1

3

=

5

12

．
∴X的分布列為

X	6	7	8	12	13
P	1 8	1 4	1 12	1 8	5 12

數(shù)學(xué)期望EX=6×

1

8

+7×

1

4

+8×

1

12

+12×

1

8

+13×

5

12

=

121

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解變量取值的含義是關(guān)鍵．