Question

圓x²+y²=8內一點P（-1，2），過點P的直線l的傾斜角為a，直線l交圓于兩點A，B．
（1）當α=

3

4

π時，求AB的長；
（2）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由直線l的傾斜角的正切值，求出直線l的斜率，由P坐標與斜率即可寫出AB的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線AB的距離d，再由半徑r，利用垂徑定理及勾股定理即可求出弦AB的長；
（2）當弦AB被點P平分時，此時過P的直徑所在的直線與弦AB所在的直線垂直，由圓心與P的坐標求出過P直徑所在直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線l的斜率，由P的坐標與求出的斜率寫出直線l的方程即可．

解答：解：（1）由直線l的傾斜角為a=

3π

4

，得到直線l斜率為-1，
則直線AB的解析式為y-2=-（x+1），即x+y-1=0，
∴圓心到直線AB的距離d=

1

2

=

2

2

，又圓的半徑r=2

2

，
則弦AB的長為2

r2-d2

=

30

；
（2）由圓的方程得到圓心坐標為（0，0），
∵P（-1，2），
∴過P的直徑所在直線的斜率為-2，
根據垂徑定理得到直線l方程斜率為

1

2

，
則直線l方程為y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時斜率滿足的關系，以及直線的點斜式方程，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，然后利用勾股定理來解決問題．