Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x²+1），g（x）=

1

x2-1

+a．
（Ⅰ）求g（x）在P（

2

，g（

2

））處的切線方程l；
（Ⅱ）若f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)到直線l的距離為1，求a的值；
（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（II）先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程即可得出結(jié)論．
（III）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），這個(gè)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)就說明有幾個(gè)根．然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值，討論最值的取值范圍確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求根的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵g′（x）=

-2x

(x 2-1) 2

∴g′（

2

）=-2

2

且g（

2

）=1+a
故g（x）在點(diǎn)P（

2

，g（

2

）））處的切線方程為2

2

x+y-5-a=0 …（5分）
（Ⅱ）由f′x）=

2x

1+x 2

得x=0，故f（x）僅有一個(gè)極小值點(diǎn)M（0，0），
根據(jù)題意得：d=

|5+a|

3

∴a=-2或 a=-8   …（10分）
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-

1

x 2-1

-ah′（x）=

2x

1+x 2

+

2x

(x 2-1) 2

x∈[0，1）∪（1，+∞）時(shí)h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）時(shí)，h′（x）＜0
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）時(shí)h（x）單調(diào)遞減，[0，1），（1，+∞）時(shí)h（x）單調(diào)遞增．h（x）為偶函數(shù)，
x∈（-1，1）時(shí)h（x）極小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情況為：
1-a＞0時(shí)，a＜1時(shí)，原方程有2個(gè)根；
1-a=0時(shí)，a=1時(shí)，原方程有3個(gè)根；
1-a＜0時(shí)，a＞1時(shí)，原方程有4個(gè)根．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．此題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想．