Question

已知m＞0，n＞0，向量

a

=（1，1），

b

=（m，n-1），且

a

⊥

b

，則

2

m

+

4

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,基本不等式

專題：平面向量及應(yīng)用,不等式

分析：根據(jù)兩向量垂直的充要條件容易得到m+n=1，所以

2

m

+

4

n

=(m+n)(

2

m

+

4

n

)=

2n

m

+

4m

n

+6，而根據(jù)基本不等式

2n

m

+

4m

n

≥4

2

，這樣便可求出

2

m

+

4

n

的最小值．

解答： 解：∵

a

⊥

b

；
∴

a

•

b

=m+n-1=0；
∴m+n=1；
又m＞0，n＞0；
∴

2

m

+

4

n

=(m+n)(

2

m

+

4

n

)=

4m

n

+

2n

m

+6≥2

8

+6=4

2

+6，當(dāng)

4m

n

=

2n

m

，即n=

2

m時(shí)取“=”；
∴

2

m

+

4

n

的最小值為4

2

+6．
故答案為：4

2

+6．

點(diǎn)評(píng)：考查兩非零向量垂直的充要條件，掌握根據(jù)m+n=1，而對(duì)

2

m

+

4

n

乘以m+n的方法，基本不等式的運(yùn)用，并注意基本不等式所具備的條件．