Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，一般都要在屋頂和外墻建造隔熱層．某建筑物要造可使用30年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元，該建筑物每年的能耗費(fèi)用W（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：厘米）滿足關(guān)系W=

m

3x+4

，（0≤x≤15），若不建隔熱層，每年能耗為10萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層的建造費(fèi)用與30年總計(jì)的能耗費(fèi)用之和．
（1）求m的值和f（x）；
（2）當(dāng)x=4時(shí)，以隔熱層使用壽命30年計(jì)算，平均每年比不建隔熱層節(jié)約多少錢(qián)？

Answer 1

分析：（1）由建筑物每年的能源消耗費(fèi)用W（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：W=

m

3x+4

，（0≤x≤15），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元．我們可得W（0）=10，解得m=40．故W=

40

3x+4

，（0≤x≤15）．根據(jù)隔熱層建造費(fèi)用與30年的能源消耗費(fèi)用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，當(dāng)x=4，f（4）=

1200

3×4+4

+6× 4=99．故x=4時(shí)，以隔熱層使用壽命30年計(jì)算，平均每年需

99

30

=3.3（萬(wàn)元），由此能求出以隔熱層使用壽命30年計(jì)算，平均每年比不建隔熱層節(jié)約錢(qián)數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為W=

m

3x+4

，（0≤x≤15），
再由W（0）=10，得

m

3×0+4

=10，
解得m=40．
∴W=

40

3x+4

，（0≤x≤15）．
而建造費(fèi)用為W₁（x）=6x，
最后得隔熱層建造費(fèi)用與30年的能源消耗費(fèi)用之和為
f（x）=30W+W₁（x）=30×

40

3x+4

+6x=

1200

3x+4

+6x（0≤x≤15）．
（2）當(dāng)x=4，f（4）=

1200

3×4+4

+6× 4=99．
∴x=4時(shí)，以隔熱層使用壽命30年計(jì)算，平均每年需

99

30

=3.3（萬(wàn)元），
∴當(dāng)x=4時(shí)，以隔熱層使用壽命30年計(jì)算，平均每年比不建隔熱層節(jié)約：
10-3.3=6.7（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建模→解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑�(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．