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16.已知函數(shù)f(x)=xlnx+2,g(x)=x2-mx.
(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)若存在x0∈[1e,e]使得mf′(x0)+g(x0)≥2x0+m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)f′(x)=lnx+1,(x>0).令f′(x)=0,解得x=1e.則x1e時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;0x1e,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.對(duì)t分類(lèi)討論:①t1e時(shí),②0t1e時(shí),1e<t+2,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性極值與最值,即可得出.
(2)存在x0∈[1e,e]使得mf′(x0)+g(x0)≥2x0+m成立,?m≤x22xxlnxmax,x∈[1e,e].令h(x)=x22xxlnx,x∈[1e,e].利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

解答 解:(1)f′(x)=lnx+1,(x>0).令f′(x)=0,解得x=1e
則x1e時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;0x1e,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
t1e時(shí),函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上單調(diào)遞增,
因此x=t時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值即最小值,f(x)min=f(t)=tlnt+2.
0t1e時(shí),1e<t+2,則x=1e時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值即最小值,f(x)min=f(1e)=-1e+2.
綜上可得:①t1e時(shí),x=t時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,f(x)min=f(t)=tlnt+2.
0t1e時(shí),x=1e時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值即最小值,f(x)min=f(1e)=-1e+2.
(2)存在x0∈[1e,e]使得mf′(x0)+g(x0)≥2x0+m成立,?m≤x22xxlnxmax,x∈[1e,e].
令h(x)=x22xxlnx,x∈[1e,e].
h′(x)=x1xxlnx+2xlnx2,
令u(x)=x-xlnx+2,x∈[1e,e].
則u′(x)=-lnx,可知x∈[1e1時(shí)單調(diào)遞增;x∈(1,e]時(shí)單調(diào)遞減.
且u(1e)=2e+2>0,u(e)=2>0,因此u(x)>0.
令h′(x)=0,解得x=1,可得:x=1是函數(shù)h(x)的極大值點(diǎn),即最大值,h(1)=-1.
∴m≤-1.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類(lèi)討論方法、不等式解法與性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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