Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若x=

1

2

是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，求a；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間A；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在[

1

2

，1]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若x=

1

2

是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，求導(dǎo)得到f′（

1

2

）=0得，求a；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間A，比較f′（x）=0的兩根的大小，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在[

1

2

，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

2ax2+(2-a2)x

ax+1

因?yàn)?span id="rnlwiqb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x=

1

2

是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，所以f′(

1

2

)=0，得a²-a-2=0．
因?yàn)閍＞0，所以a=2．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）的定義域是(-

1

a

，+∞)，
f′(x)=

2ax2+(2-a2)x

ax+1

=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

．
（1）當(dāng)a＞

2

時，列表
f（x）在(-

1

a

，0)，(

a2-2

2a

，+∞)是增函數(shù)；
f（x）在(0，

a2-2

2a

)是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a=

2

時，34．gif，f（x）在(-

2

2

，+∞)是增函數(shù)．
（3）當(dāng)0＜a＜

2

時，列表
f（x）在(-

1

a

，

a2-2

2a

)，（0，+∞）是增函數(shù)；
f（x）在(

a2-2

2a

，0)是減函數(shù)．
（Ⅲ）當(dāng)

2

＜a≤2時，

a2-2

2a

=

a

2

-

1

a

≤

2

2

-

1

2

=

1

2

，
由（Ⅱ）可知f（x）在[

1

2

，1]上是增函數(shù)．
當(dāng)1≤a≤

2

時，也有f（x）在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，
所以對于對于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值為f（1）=ln（a+1）+1-a，
要使不等式f（x）≤m在[

1

2

，1]上恒成立，
須ln（a+1）+1-a≤m，
記g（a）=ln（a+1）+1-a，因?yàn)?span id="bvqaijz" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">g′(a)=-

a

a+1

＜0，
所以g（a）在[1，2]上遞減，g（a）的最大值為g（1）=ln2，所以m≥ln2．
故m的取值范圍為[ln2，+∞）．

點(diǎn)評：考查x=x₀是極值點(diǎn)是f′（x₀）=0的充分非必要條件，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題，有關(guān)恒成立的問題一般采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬難題．