Question

在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的三邊a，b，c成等差數(shù)列，給出下列結(jié)論：
①b²≥ac；②b2≥

a2+c2

2

；③

1

a

+

1

c

＜

2

b

；④0＜B≤

π

3

．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和題意可得：2b=a+c，
利用基本不等式判斷①、③；利用作差法判斷②；利用余弦定理和不等式判斷④．

解答： 解：因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，
對(duì)于①，2b=a+c≥2

ac

，化簡(jiǎn)得b²≥ac，①正確；
對(duì)于②，b2-

a2+c2

2

=(

a+c

2

)2-

a2+c2

2

=

(a+c)2-2(a2+c2)

4

=-

(a-c)2

4

≤0，
則b2≤

a2+c2

2

，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
則(

a+c

2

)2=a2+c2-2accosB，
化簡(jiǎn)得，cosB=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
又B∈（0，π），且余弦函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù)，
則0＜B≤

π

3

，④正確，
綜上得，①④，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，余弦定理，作差法比較大小，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．