Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹+1，b_n=a_n-（n+1）•2ⁿ+1，其中n∈N^*，n≥1．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由等比數(shù)列的定義結(jié)合已知即可證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）由數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列求得其通項(xiàng)公式，代入b_n=a_n-（n+1）•2ⁿ+1求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹+1，b_n=a_n-（n+1）•2ⁿ+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1-(n+2)2n+1+1

an-(n+1)2n+1

=

2an+2n+1+1-(n+2)2n+1+1

an-(n+1)2n+1

=2，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b₁=-1，
∴bn=-2n-1，
∴an=(2n+1)•2n-1-1，
則Sn=(3×20-1)+(5×21-1)+(7×22-1)+…+[(2n+1)×2n-1-1]
=3×2⁰+5×2¹+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1-n  ①，
2Sn=3×21+5×212+7×23+…+(2n+1)×2n-2n  ②，
由①-②，得-Sn=1+2+22+…+2n-(2n+1)×2n+n
=

1-2n+1

1-2

-(2n+1)×2n+n
=（1-2n）×2ⁿ+n-1．
∴Sn=(2n-1)×2n-n+1．

點(diǎn)評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．