Question

13．下列命題中，是假命題的是（　　）

• A． ?x＞0，x＞lnx
• B． ?x₀∈R，tanx₀=2016
• C． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$
• D． ?x∈R，2^x＞0

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-lnx，可得當(dāng)x=1時，f（x）取最小值1，進(jìn)而可判斷A；
根據(jù)tanx∈R可判斷B；
根據(jù)sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可判斷C；
根據(jù)2^x∈（0，+∞），可判斷D．

解答 解：令f（x）=x-lnx，則f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時，f（x）取最小值1，
即?x＞0，x＞lnx為真命題；
tanx∈R，故?x₀∈R，tanx₀=2016為真命題；
sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
$\sqrt{3}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=$\sqrt{3}$為假命題；
2^x∈（0，+∞），
故?x∈R，2^x＞0為真命題；
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的值域，全稱命題，特稱命題，難度中檔．