Question

已知冪函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x₁，x₂∈R，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)，有f（x₁）=f（x₂）．則f（-1）+f（0）+f（1）的值為

0

．

Answer 1

分析：由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，再進(jìn)一步的判斷出是奇函數(shù)，問題解決．

解答：解：設(shè)f（x）=x^α，由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，∴α＞0，又∵對(duì)任意x₁，x₂∈R，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)，有f（x₁）=f（x₂）．即是說(shuō)，y與x一一對(duì)應(yīng)，f（x）必定不是偶函數(shù)．
當(dāng)α為整數(shù)時(shí)，α必為奇數(shù)，從而f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，f（-1）+f（0）+f（1）=-f（1）+0+f（1）=0．
當(dāng)α為分?jǐn)?shù)時(shí)，設(shè)α=

m

n

，（

m

n

為最簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)，且n≥2），f（x）=x

m

n

=

n	xm

，∴m為奇數(shù)，n為奇數(shù)，此時(shí)f（x）為奇函數(shù)，
同樣地，f（0）=0，f（-1）+f（0）+f（1）=-f（1）+0+f（1）=0．，
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)．冪函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)與冪指數(shù)密切相關(guān)，本題挖掘出f（x）是定義在R上的奇函數(shù)是關(guān)鍵．