Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值為g（t）
（1）求函數(shù)g（t）的解析式．
（2）若對(duì)任意的t，f（x）-m＞0在x∈[t，t+1]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1，且x∈[t，t+1]，分類(lèi)討論求出f（x）的最小值．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線(xiàn)y=m的上方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的最小值
f（1）的值，可得m的范圍．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1，x∈[t，t+1]，
當(dāng)t＞1 時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)第增，f（x）的最小值為g（t）=f（t）=t²-2t+2．
當(dāng)1∈[t，t+1]時(shí)，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，1]上單調(diào)第減，在區(qū)間[1，t+1]上單調(diào)第增，
f（x）的最小值為g（t）=f（1）=1．
當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)第減，
f（x）的最小值為g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1．
綜上可得，g（t）=

t2-2t+2，t＞1 1，0≤t≤1 t2+1，t＜0

．
（2）由題意可得，對(duì)任意的t，當(dāng)x∈[t，t+1]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在直線(xiàn)y=m的上方，
故函數(shù)f（x）的圖象恒在直線(xiàn)y=m的上方．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=1，故有m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．