Question

若sin（

3π

4

+α）=

5

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，且0＜α＜

π

4

＜β＜

3π

4

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cos（

3π

4

+α）和sin（

π

4

-β），進(jìn)而由誘導(dǎo)公式和和差角的公式可得sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3π

4

+α）-（

π

4

-β）]=-cos（

3π

4

+α）cos（

π

4

-β）-sin（

3π

4

+α）sin（

π

4

-β），代值計算可得．

解答： 解：∵0＜α＜

π

4

＜β＜

3π

4

，∴

3π

4

＜

3π

4

+α＜π，-

π

2

＜

π

4

-β＜0，
又sin（

3π

4

+α）=

5

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，
∴cos（

3π

4

+α）=-

1-sin2( 3π 4 +α)

=-

12

13

，
∴sin（

π

4

-β）=-

1-cos2( π 4 -α)

=-

4

5

，
∴sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3π

4

+α）-（

π

4

-β）]
=-cos（

3π

4

+α）cos（

π

4

-β）-sin（

3π

4

+α）sin（

π

4

-β）
=-(-

12

13

)×

3

5

-

5

13

×(-

4

5

)=

56

65

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式，屬中檔題．