Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$ 滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角，需求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數量積的值，又由$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且知道$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，故可將$\overrightarrow$轉化為$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$表示，代入進行線性運算即可．也可以利用向量的幾何意義，結合圖象解三角形．解題時，應注意向量$\overrightarrow{a}$ 與$\overrightarrow$ 的夾角范圍．

解答 解法一：
解：∵$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$
∴$\overrightarrow=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{a}}^{2}$
∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$ 
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=0$
又 $|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow|=4$
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-4$
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=-4
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$＜0  且$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞∈[0°，180°]$
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=120°$即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．
故選D．
解法二：數形結合
記$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$，則$|\overrightarrow{AB}|=2，|\overrightarrow{BC}|=4$
∴$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
由于題中需求的向量$\overrightarrow{a}和\overrightarrow的夾角未知$．
故可將$\overrightarrow{a}$固定，$\overrightarrow$的終點C則是以點B為原點，以4為半徑的圓上的動點，如上圖所示．
又∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$
∴點C運動至圖（2）處，滿足 $\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$
此時，△ABC是以∠A=90°的直角三角形，且|AB|=2，|BC|=4
∴∠ABC=60°
故向量$\overrightarrow{a}與\overrightarrow$的夾角是∠ABC的補角，即向量$\overrightarrow{a}與\overrightarrow$的夾角是120°
故選D．

點評 主要考查向量的夾角公式，向量的數量積基本運算．考查了向量的線性運算．考查了代入法，數形結合思想．