Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與拋物線C的交點(diǎn)為Q，且|QF|=2|PQ|，過F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)AB的垂直平分線l'與C相交于M，N兩點(diǎn)，試判斷A，M，B，N四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？若在，求出l的方程；若不在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)Q（x0，4），代入y2=2px得x0= ，

∴|PQ|= ，|QF|= +x0= + ．

由題設(shè)得 + =2× ，解得p=﹣4（舍去）或p=4，

∴拋物線C的方程為y2=8x．

（2）解：由題設(shè)知，l與坐標(biāo)軸不垂直，且過焦點(diǎn)F（2，0），

故可設(shè)l的方程為x=my+2（m≠0），

代入y2=8x得y2﹣8my﹣16=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=8m，y1y2=﹣16．

故AB的中點(diǎn)為D（4m2+2，4m），

|AB|= |y1﹣y2|= =8（m2+1）．

又l′⊥l，所以l′的斜率為﹣m，

所以l′的方程為x=﹣ y+4m2+6．

將上式代入y2=8x，并整理得y2+ y﹣8（4m2+6）=0，

設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），

則y3+y4=﹣ ，y3y4=﹣8（4m2+6）．

故MN的中點(diǎn)為E（ +4m2+6，﹣ ），

|MN|= |y3﹣y4|= = ，

由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|= |MN|，

又在Rt△ADE中，丨AD丨2+丨DE丨2=丨AE丨2，

從而 |AB|2+|DE|2= |MN|2，

即16（m2+1）2+（4m+ ）2+（ +4）2= ，

化簡(jiǎn)得m2﹣1=0，m=±1，

所以當(dāng)A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上時(shí)，l的方程為x=±y+2，即x±y﹣2=0．

【解析】（1）將Q（x0，4）代入拋物線方程，求得丨PQ丨，根據(jù)拋物線的定義，即可求得p的值，求得C的方程；（2）設(shè)l的方程為 x=my+1 （m≠0），代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程．