Question

過(guò)點(diǎn)P（2，0）作直線l交橢圓

x2

2

+y²=1于不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)G為線段AB的中點(diǎn)，直線OG交于C，D．
（1）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為

2

3

，求l的方程；
（2）設(shè)△ABD與△ABC的面積分別為S₁，S₂，求|S₁-S₂|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線為y=k（x-2）與橢圓

x2

2

+y²=1方程聯(lián)立，得到
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0①運(yùn)用兩根與方程的系數(shù)關(guān)系求解得k的值，最后運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線方程．
（2）先求出|AB|長(zhǎng)，OG方程，C，D坐標(biāo)，再求出到直線AB的距離，用面積公式求即可．，

解答： 解：（1）設(shè)直線為y=k（x-2）與橢圓

x2

2

+y²=1方程聯(lián)立，
得到：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0①
又因?yàn)槿酎c(diǎn)G的橫坐標(biāo)為

2

3

，G為線段AB的中點(diǎn)
所以：x₁+x₂=

8k2

1+2k2

=

4

3

，k²=

1

4

，即k=±

1

2

，
x₁x₂=

8k2-2

2k2+1

，|AB|=×

1+k2

|x₁-x₂|
所以l的方程：y=±

1

2

（x-2）
（2）把k²=

1

4

代入①得3x²-4x=0，即x=0或x=

4

3

，
∵過(guò)點(diǎn)P（2，0）作直線l交橢圓

x2

2

+y²=1于不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)G為線段AB的中點(diǎn)，直線OG交于C，D．
∴根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式；知x₁x₂=

8k2-2

2k2+1

，|AB|=×

1+k2

|x₁-x₂|
所以|AB|=×

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

×

4

3

=

2 5

3

，
當(dāng)k=-

1

2

時(shí)可得：x₁+x₂=

8k2

1+2k2

=

4

3

，∴x_G=

2

3

，代入y=-

1

2

×（x-2）=

2

3

G（

2

3

，

2

3

），直線OG的方程為：y=x，②
把②代入橢圓方程得：C（

6

3

6

3

），D（-

6

3

，-

6

3

），
三角形面積為：

1

2

×

1+k2

|x₁-x₂|×h=

5

4

×|x₁-x₂|×h=

5

3

×h
h₁=

6 -2

5

，h₂=

6 +2

5

，
可知|S₁-S₂|=

5

3

×|

6 -2

5

-

6 +2

5

|=

5

3

×

4

5

=

4

3

當(dāng)k=

1

2

時(shí)，同理得：|S₁-S₂|=

5

3

×|

6 -2

5

-

6 +2

5

|=

5

3

×

4

5

=

4

3

所以綜上可得：|S₁-S₂|=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了運(yùn)用方程解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，及應(yīng)用解決面積的問(wèn)題，注意繁瑣的運(yùn)算．