Question

已知橢圓的焦距是8，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為10．
（1）求橢圓方程；
（2）在（1）的橢圓上求一點(diǎn)P，使PF₁⊥PF₂．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義知2c=8，2a=10，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)P在橢圓上，且PF₁⊥PF₂時(shí)，S△PF1F2=b²tan45°，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）橢圓的焦距是8，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為10，
∴2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
∴b=

25-16

=3，
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

25

=1．
（2）當(dāng)P在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，且PF₁⊥PF₂時(shí)，
S△PF1F2=b²tan45°=9，
設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，
∵S△PF1F2=

1

2

|PF1F2||y|=c|y|=4|y|=9，
∴y=±

9

4

，把y=±

9

4

代入橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，解得x=±

5 7

4

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5 7

4

，

9

4

）或（

5 7

4

，-

9

4

）或（-

5 7

4

，

9

4

）或（-

5 7

4

，-

9

4

）．
當(dāng)P在橢圓

x2

9

+

y2

25

=1上，且PF₁⊥PF₂時(shí)，
S△PF1F2=b²tan45°=9，
設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為x，
∵S△PF1F2=

1

2

|F₁F₂||x|=c|x|=4|x|=9，
∴x=±

9

4

，把x=±

9

4

代入橢圓

x2

9

+

y2

25

=1，解得y=±

5 7

4

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

4

，

5 7

4

）或（

9

4

，-

5 7

4

）或（-

9

4

，

5 7

4

）或（-

9

4

，-

5 7

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓上指定點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．