已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(0,m)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且
AP
=3
PB
,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(Ⅰ)設(shè)所求的橢圓方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)

由題意:
c
a
=
1
2
a+c=3
a2=b2+c2
?
a=2
b=
3
c=1

所求橢圓方程為:
x2
4
+
y2
3
=1
.…(5分)
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(0,m)的斜率不存在,則m=±
3
2

若過點(diǎn)P(0,m)的直線斜率為k,
即:m≠±
3
2
時,
直線AB的方程為y-m=kx
y=kx+m
3x2+4y2=12
?(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
,
△=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12),
因?yàn)锳B和橢圓C交于不同兩點(diǎn),
所以△>0,4k2-m2+3>0,
所以4k2>m2-3    ①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由已知
AP
=3
PB
,
x1+x2=-
8km
3+4k2
,x1x2=
4m2-12
3+4k2
    ②
AP
=(-x1,m-y1),
PB
=(x2,y2-m)
-x1=3x2
將③代入②得:-3(
4km
3+4k2
)2=
4m2-12
3+4k2

整理得:16m2k2-12k2+3m2-9=0
所以k2=
9-3m2
16m2-12
代入①式,
4k2=
9-3m2
4m2-3
m2-3
4m2(m2-3)
4m2-3
<0

解得
3
4
m2<3

所以-
3
<m<-
3
2
3
2
<m<
3

綜上可得,實(shí)數(shù)m的取值范圍為:(-
3
,-
3
2
]∪[
3
2
3
)
.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(0,-2)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
=0
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,
32
)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2M⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(
3
,
1
2
)
,離心率是
3
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l過點(diǎn)E(-1,0)且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若|EA|=2|EB|,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•和平區(qū)一模)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點(diǎn).
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點(diǎn),設(shè)P(-4,0),連接PA交橢圓C于另一點(diǎn)E,求證:直線BE與x軸相交于定點(diǎn)M;
(III)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在(II)的條件下,過點(diǎn)M的直線交橢圓C于S、T兩點(diǎn),求
OS
OT
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
,離心率為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),若
MA
=λ1
AF
, 
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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