Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+ ﹣3（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的方程g（ex）=0（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（2）求函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，記h（x）=f（x）g（x），是否存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，請(qǐng)求出λ的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=0，可得x= 或1，

g（ex）=0，可得ex= 或ex=1，

∴x=﹣ln2或0；

（2）解：φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+ ﹣3，φ′（x）=

①a=0，φ′（x）= ＞0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

②a=1，φ′（x）= x＞0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

③0＜a＜1，x= ＜0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

④a＞1，x= ＞0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ，+∞）；

⑤a＜0，x= ＞0，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0， ）

（3）解：a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣ +1，

h″（x）= + ＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+ ，

h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+ ）+6，

∵h(yuǎn)′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），

∴h（x）不存在最小值，

∴不存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式2λ≥h（x）有解

【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，求出g（x）=0的解，即可解關(guān)于x的方程g（ex）=0（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+ ﹣3，φ′（x）= ，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）判斷h（x）不存在最小值，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．