Question

已知函數(shù)f（x）、g（x）的定義域都是R′∪R″，J（x）=f（x）•g（x）．
（1）如果f（x），g（x）都是奇函數(shù)，試推出函數(shù)J（x）的奇偶性，并予以證明；若f（x），g（x）都是偶函數(shù)，或一個是奇函數(shù)另一個是偶函數(shù)，則請分別寫出關于函數(shù)J（x）的奇偶性的相應結(jié)論；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，g（x）為非奇非偶函數(shù)，試用反證法證明函數(shù)J（x）為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，g（x）為非奇非偶函數(shù)，則請分別寫出關于函數(shù)J（x）的奇偶性的相應結(jié)論；
（3）若f（x），g（x）都是非奇非偶函數(shù)，則函數(shù)J（x）的奇偶性能否確定？請寫出相應的結(jié)論并證明；若不能，請分別舉例說明各種可能的情況．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷出．

解答： 解：（1）J（x）是偶函數(shù)．證明如下：
J（-x）=f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）•g（x）=J（x），
∴J（x）是偶函數(shù)．
若f（x），g（x）都是偶函數(shù)，則J（x）是偶函數(shù)．
若一個是奇函數(shù)另一個是偶函數(shù)，函數(shù)J（x）是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，g（x）為非奇非偶函數(shù)，則函數(shù)J（x）為非奇非偶函數(shù)．
反證法證明：假設函數(shù)J（x）是奇函數(shù)，則f（-x）g（-x）=-f（x）g（-x）=-f（x）g（x），
∴g（-x）=g（x）為偶函數(shù)，與g（x）為非奇非偶函數(shù)矛盾，因此假設不成立．
若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，g（x）為非奇非偶函數(shù)，則函數(shù)J（x）是非奇非偶函數(shù)．
（3）若f（x），g（x）都是非奇非偶函數(shù)，則函數(shù)J（x）的奇偶性不能確定．
①取f（x）=e^x，g（x）=e^-x，則J（x）=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
②取f（x）=x+1，g（x）=x-1，則J（x）=x²-1為偶函數(shù)．
③取f（x）=

x+1

x

，g（x）=

x2

x+1

，假設定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），則J（x）是奇函數(shù)．
④取f（x）=e^2x，g（x）=e^-x，則J（x）=e^x是非奇非偶函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性定義及其判定方法，考查了推理能力與舉例能力，屬于難題．