Question

16．誠(chéng)信是立身之本，道德之基，某校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠(chéng)信教育，并用“$\frac{周實(shí)際回收水費(fèi)}{周投入成本}$”表示每周“水站誠(chéng)信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個(gè)周期）的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：

	第一周	第二周	第三周	第四周
第一個(gè)周期	95%	98%	92%	88%
第二個(gè)周期	94%	94%	83%	80%
第三個(gè)周期	85%	92%	95%	96%

（1）計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)$\overline{x}$；
（2）分別從表中每個(gè)周期的4個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的3個(gè)數(shù)據(jù)中“水站誠(chéng)信度”超過(guò)91%的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；
（3）已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說(shuō)明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由．

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)公式能求出表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)．
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）兩次活動(dòng)效果均好，活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度”由88%→94%和80%到85%看出，后繼一周都有提升．

解答 解：（1）表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)：
$\overline{x}$=$\frac{95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96}{12}$×$\frac{1}{100}$=91%．
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{64}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{14}{64}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}=\frac{30}{64}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}=\frac{18}{64}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{9}{32}$

EX=$0×\frac{1}{32}+1×\frac{7}{32}+2×\frac{15}{32}+3×\frac{9}{32}$=2．
（3）兩次活動(dòng)效果均好．
理由：活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度”由88%→94%和80%到85%看出，
后繼一周都有提升．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要 認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．