Question

7．已知直線l：4x+3y+10=0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的上方．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（1，1）的直線l₁被圓C截得的弦長(zhǎng)等于2$\sqrt{3}$，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心C（a，0），（a＞-$\frac{5}{2}$），由題意結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式求得a值，則圓的方程可求；
（Ⅱ）由垂徑定理可得圓心C到直線l₁ 的距離，然后分直線l₁ 的斜率存在與不存在分類求解得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（a，0），（a＞-$\frac{5}{2}$），則$\frac{|4a+10|}{5}=2$，解得a=0或a=-5（舍），
∴圓C：x²+y²=4；
（Ⅱ）由題意可知圓心C到直線l₁ 的距離為$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
若直線l₁ 斜率不存在，則直線l₁：x=1，圓心C到直線l₁的距離為1；
若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，
則$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0，直線l₁：y=1．
綜上直線l₁ 的方程為x=1或y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了垂徑定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．