Question

已知圓C：x²+y²-6x+8y=0．
（1）求過(guò)點(diǎn)A（7，-1）與圓C相切的直線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，0）作直線l，與C的距離等于1，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線的一般式方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（7，-1）與圓C相切的直線的方程為kx-y-7k-1=0，由點(diǎn)到直線的距離公式能求出切線方程．
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，0）作直線l，若直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2；當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=m（x-2），由此利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（7，-1）與圓C相切的直線的方程為y+1=k（x-7），即kx-y-7k-1=0，
∵圓C：x²+y²-6x+8y=0的圓心C（3，-4），半徑r=

1

2

36+64

=5，
∴圓心C（3，-4）到直線kx-y-7k-1=0的距離：
d=

|3k+4-7k-1|

k2+1

=5，
解得k=-

4

3

，
∴切線方程為y+1=-

4

3

(x-7)，即4x+3y-30=0．
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線x=7不成立，
∴過(guò)點(diǎn)A（7，-1）與圓C相切的直線的方程為4x+3y-30=0．
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，0）作直線l，
若直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2，
與C（3，-4）的距離為1，成立；
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=m（x-2），即mx-y-2m=0，
則

|3m+4-2m|

m2+1

=1，解得m=-

15

8

，
∴y=-

15

8

(x-2)．
∴l(xiāng)的方程為x=2或y=-

15

8

(x-2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．