Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線2x+y+2=0經(jīng)過橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點且與橢圓M交于A，B兩點，其中點A是橢圓的一個頂點，
（Ι）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（ I）求出直線2x+y+2=0與兩坐標(biāo)軸的交點，得出橢橢圓M的左焦點與一個頂點A，得b、c的值，再求出a²的值即得橢圓方程；
（ II）設(shè)出B、C、D的坐標(biāo)，直線CD的方程，由直線2x+y+2=0與橢圓M的方程組成方程組，求出|AB|的長，
直線CD的方程與橢圓方程組成方程組，求出|CD|的長；計算四邊形ACBD的面積S即可求出S的最大值．

解答： 解：（ I）由題知，直線2x+y+2=0與兩坐標(biāo)軸的交點為F（-1，0），A（0，-2），
∴橢橢圓M的左焦點為F（-1，0），頂點A為（0，-2），
∴b=2，c=1，a²=b²+c²=5；
∴橢圓M的方程為

x2

5

+

y2

4

=1；   
（ II）由題意，A（0，2），設(shè)B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）；
直線CD的方程為y=

1

2

x+b，
則直線2x+y+2=0與橢圓M的方程組成方程組

x2 5 + y2 4 =1 y=-2x-2

，
消去y，整理得：
6x²+10x=0，
解得x₁=0，x₂=-

5

3

；
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+(-2)2

|0+

5

3

|=

5 5

3

；
直線CD的方程與橢圓方程組成方程組

x2 5 + y2 4 =1 y= 1 2 x+b

，
消去y，整理得：
21x²+20bx+20b²-80=0，
∵△=320（21-4b²）≥0，
∴x₃+x₄=-

20b

21

，x₃x₄=

20b2-80

21

，
∴|CD|=

1+( 1 2 )2

•|x₃-x₄|
=

5

2

×

320(21-4b2)

21

≤

20 21

21

；
四邊形ACBD的面積為S=

1

2

|AB||CD|≤

5 5

3

×

20 21

21

=

50 105

63

，
即四邊形ACBD面積S的最大值為

50 105

63

．

點評：本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的邏輯推理能力與計算能力，是綜合性題目．