【題目】等腰直角三角形中，，點在邊上，垂直交于，如圖①.將沿折起，使到達的位置，且使平面平面，連接，，如圖②.

（Ⅰ）若為的中點，，求證：；

（Ⅱ）若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證平面得，由為的中點，，得，進而證明平面即可證明；（Ⅱ）證明三棱錐的體積最大時DB=2, 以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系,分別求面和面PEB的法向量，由空間向量二面角公式求解即可

（I） ，，∩=D

平面，

又在圖①中，，

，

平面，而平面，

，

，是的中點，

平面，而平面，

.

（Ⅱ）設，由，三棱錐的體積，

得三棱錐的體積最大時，.

，

以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系

則，，，.

設面的法向量為

則

令則，，則

設面的法向量為

則

令則，，則

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產一種產品，從流水線上隨機抽取100件產品，統(tǒng)計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖）：

規(guī)定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質品每件虧損1元，優(yōu)等品每件盈利3元，特優(yōu)品每件盈利5元.以這100 件產品的質量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產品的質量指標值位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產品的平均銷售利潤；

（2）該企業(yè)為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年年營銷費用和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

16.30

23.20

0.81

1.62

表中，，，.

根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程.

①求關于的回歸方程；

⑦用所求的回歸方程估計該企業(yè)應投人多少年營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大？（收益=銷售利潤營銷費用，取）

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，其回歸直線均斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某企業(yè)有職工5000人，其中男職工3500人，女職工1500人．該企業(yè)為了豐富職工的業(yè)余生活，決定新建職工活動中心，為此，該企業(yè)工會采用分層抽樣的方法，隨機抽取了300名職工每周的平均運動時間（單位：h），匯總得到頻率分布表（如表所示），并據(jù)此來估計該企業(yè)職工每周的運動時間：

平均運動時間

頻數(shù)

頻率

[0，2）

15

0.05

[2，4）

m

0.2

[4，6）

45

0.15

[6，8）

755

0.25

[8，10）

90

0.3

[10，12）

p

n

合計

300

1

（1）求抽取的女職工的人數(shù)；

（2）①根據(jù)頻率分布表，求出m、n、p的值，完成如圖所示的頻率分布直方圖，并估計該企業(yè)職工每周的平均運動時間不低于4h的概率；

男職工

女職工

總計

平均運動時間低于4h

平均運動時間不低于4h

總計

②若在樣本數(shù)據(jù)中，有60名女職工每周的平均運動時間不低于4h，請完成以下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認為“該企業(yè)職工毎周的平均運動時間不低于4h與性別有關”．

附：K2=，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平行四邊形中，，，過點作的垂線，交的延長線于點，.連結，交于點，如圖1，將沿折起，使得點到達點的位置，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點，為的中點，且平面平面，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓經過點，左、右焦點分別是，，點在橢圓上，且滿足的點只有兩個.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過且不垂直于坐標軸的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在一點，使得的角平分線是軸？若存在求出，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點，在圓：上任取一點，的垂直平分線交于點.（如圖）.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若過點的動直線與（1）中的軌跡相交于、兩點.問：平面內是否存在異于點的定點，使得恒成立？試證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上，且的最小值是（為坐標原點）.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）已知動直線與圓：相切，且與橢圓交于，兩點.是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，，，是由直線引出的三個不重合的半平面，其中二面角大小為60°，在二面角內繞直線旋轉，圓在內，且圓在，內的射影分別為橢圓，.記橢圓，的離心率分別為，，則的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C過兩點A（0，4），B（4，6），且圓心在直線x﹣2y﹣2=0上．

（1）求圓C的方程；

（2）若直線l過原點且被圓C截得的弦長為6，求直線l的方程．

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