Question

設等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）在數(shù)列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求證：

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

＜

15

16

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）和等比數(shù)列的定義即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（I）假設在數(shù)列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差數(shù)列）成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義及其反證法即可得出；
（II）利用（2）的結(jié)論、“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）由a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
可得：a_n=2S_n-1+2（n≥2），
兩式相減：a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2a₁+2，
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a₂=3a₁，解得a₁=2．
∴an=2•3n-1．
（2）由（1）可知a_n=2•3^n-1，an+1=2•3n，
∵a_n+1=a_n+（n+2-1）d，
∴d=

4•3n-1

n+1

．
（I）由（2）可知：d_n=

4•3n-1

n+1

．
假設在數(shù)列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則(dk)2=dm•dp，
即：(

4•3k-1

k+1

)2=

4•3m-1

m+1

•

4•3p-1

p+1

，
∴

42•32k-2

(k+1)2

=

16•3m+p-2

(m+1)(p+1)

       （*）  
∵m，k，p成等差數(shù)列，∴m+p=2k，
∴（k+1）²=（m+1）（p+1），展開為k²+2k+1=mp+（m+p）+1，
∴k²=mp，故k=m=p，這與題設矛盾．
∴在數(shù)列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差數(shù)列）成等比數(shù)列．
（II）令T_n=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

2

4•30

+

3

4•31

+

4

4•32

+…+

n+1

4•3n-1

，

1

3

Tn=

2

4•31

+

3

4•32

+

4

4•33

+…+

n+1

4•3n

，
兩式相減：

2

3

Tn=

2

4•30

+

1

4•31

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-1

-

n+1

4•3n

=

1

2

+

1

4

•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4•3n

=

5

8

-

2n+5

8•3n

，
∴T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16•3n

＜

15

16

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式及利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求熟練的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及其通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、反證法即等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．