Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且當x∈R時，f（m-x）+f（m+x）=2n恒成立，
（1）求證：y=f（x）的圖象關(guān)于點（m，n）對稱；
（2）求函數(shù)f（x）=x³+2x²圖象的一個對稱點．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用定義來證明即可．
（2）因為點A（m，n）是f（x）圖象的一個對稱點的充要條件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可設(shè)A（m，n）為f（x）的一個對稱點則得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；

解答： 證明：（1）f（m-x）+f（m+x）=2n恒成立
設(shè)（a，b）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點，該點關(guān)于點（m，n）對稱的點的坐標是（c，d），那么點（m，n）是點（a，b）與點（c，d）的中點
即：a+c=2m，b+d=2n，
令x₀=m-a，則a=m-x₀，c=m+x₀，
點（a，b）在函數(shù)y=（x）的圖象上，那么：b=f（a）=f（m-x₀），
所以，d=2n-b=2n-f（m-x₀）=f（m+x₀）=f（c），
即點（c，d ）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上則，
故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（m，n）對稱．（2）解：設(shè)A（m，n）為函數(shù)f（x）=x³+2x²圖象的一個對稱點，則f（m-x）+f（m+x）=2n，對于x∈R恒成立．即（m-x）³+2（m-x）²+（m+x）³+2（m+x）²=2n對于x∈R恒成立，
∴（6m+4）x²+（2m³+4m²-2n）=0
由

6m+4=0 2m3+4m2-2n=0

解得：

m=- 2 3 n= 16 27

故函數(shù)f（x）圖象的一個對稱點為(-

2

3

，

16

27

)

點評：本題主要考查了函數(shù)的對稱性，靈活利用f（m-x）+f（m+x）=2n的對稱中心為（m．n），屬于基礎(chǔ)題．