Question

如圖，已知圓心坐標(biāo)為（

3

，1）的圓M與x軸及直線y=

3

x分別相切于A，B兩點(diǎn)，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=

3

x分別相切于C、D兩點(diǎn)．
（1）求圓M和圓N的方程；
（2）過點(diǎn)B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度．

Answer 1

分析：（1）圓M的圓心已知，且其與x軸及直線y=

3

x分別相切于A，B兩點(diǎn)，故半徑易知，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=

3

x分別相切于C、D兩點(diǎn)，由相似性易得其圓心坐標(biāo)與半徑，依定義寫出兩圓的方程即可．
（2）本題研究的是直線與圓相交的問題，由于B點(diǎn)位置不特殊，故可以由對稱性轉(zhuǎn)化為求過A點(diǎn)且與線MN平行的線被圓截得弦的長度，下易解．

解答：解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半
徑，則M在∠BOA的平分線上，
同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點(diǎn)共線，且OMN為∠BOA
的平分線，
∵M(jìn)的坐標(biāo)為（

3

，1），∴M到x軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，
則⊙M的方程為(x-

3

)2+(y-1)2=1，（4分）
設(shè)⊙N的半徑為r，其與x軸的切點(diǎn)為C，連接MA，NC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即

2

3+r

=

1

r

得r=3，
則OC=3

3

，則⊙N的方程為(x-3

3

)2+(y-3)2=9；（8分）
（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點(diǎn)直線MN的平行線被⊙N截得的弦的長度，
此弦的方程是y=

3

3

(x-

3

)，即：x-

3

y-

3

=0，
圓心N到該直線的距離d=

3

2

，則弦長=2

r2-d2

=

33

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線與圓相交的性質(zhì)，屬于直線與圓的方程中綜合性較強(qiáng)的題型，題后注意題設(shè)中條件轉(zhuǎn)化的技巧．