Question

將函數(shù)f（x）=sin

3

4

x•sin

3

4

（x+2π）•sin

3

2

（x+3π）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}（n=1，2，3…）．（1）則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式=

 

；（2）設(shè)b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，則=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，根據(jù)數(shù)數(shù)之間的關(guān)系求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)已知的b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，進(jìn)一步求出

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=-1
判斷出數(shù)列成等比數(shù)列，進(jìn)一步利用等比數(shù)列求出通項(xiàng)．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin

3

4

x•sin

3

4

（x+2π）•sin

3

2

（x+3π）=sin

3x

4

sin(

3x

4

+

3π

2

)sin(

3x

2

+

9π

2

）
=-

1

2

sin

3x

2

cos

3x

2

=-

1

4

sin3x
f′(x)=-

3

4

cos3x
令f′(x)=-

3

4

cos3x=0
解得：函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)為：x=

kπ

3

+

π

6

（k∈Z）
從而在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}是以

π

6

為首，

π

3

為公差的等差數(shù)列
所以：an=

π

6

+(n-1)

π

3

=

2n-1

6

π（n=1，2，3…）
（2）由a_n=

2n-1

6

π得知：對(duì)任意的正整數(shù)n，a_n都不是π的整數(shù)倍，
所以：sina_n≠0
設(shè)b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=-1
又由于b1=sin

π

6

sin

π

2

sin

5π

6

=

1

4

{b_n}是以b₁為首-1為公比的等比數(shù)列
所以：bn=

(-1)n-1

4

（n=1，2，3，…）
故答案為：（1）an=

2n-1

6

π(n=1，2，3，…）
（2）bn=

(-1)n-1

4

（n=1，2，3…）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角關(guān)系式的恒等變換，導(dǎo)數(shù)在極值中的應(yīng)用，等差數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的應(yīng)用．