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8.設(shè)橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的離心率e=22,橢圓上一點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l與橢圓交于A,B兩點,且AB中點為M112,求直線l方程.

分析 (1)由橢圓的定義可得2a=4,即a=2,再由離心率公式和a,b,c的關(guān)系,求得b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)判斷中點M在橢圓內(nèi),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程,運用作差法和中點坐標(biāo)公式及斜率公式可得直線l的斜率,再由點斜式方程可得直線的方程.

解答 解:(1)由點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4,
由橢圓的定義可得2a=4,即a=2,
又e=ca=22,可得c=2
b=a2c2=2,
即有橢圓C的方程為x24+y22=1;
(2)中點M代入橢圓方程,可得14+18<1,
即M在橢圓內(nèi),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x12+2y12=4,x22+2y22=4,
兩式相減可得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0,
由中點坐標(biāo)公式可得x1+x2=-2,y1+y2=1,
可得直線AB的斜率為k=y1y2x1x2=-x1+x22y1+y2=-22=1,
即有直線l的方程為y-12=x+1,
即為2x-2y+3=0.

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的定義和離心率公式,考查中點弦方程的求法,注意運用點差法和中點坐標(biāo)公式及斜率公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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