分析 (I)橢圓C的離心率為√32,P(√2,√22)在橢圓C上.可得ca=√32,2a2+122=1,a2=b2+c2,聯(lián)立解得即可得出.
(II))(i)證明:當(dāng)l⊥x軸時(shí),設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),則x204+y20=1,由kOM•kON=-b2a2,可得y0x0×−y0x0=-14,聯(lián)立解得即可得出.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,△>0,可得1+4k2>m2.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2].由kOM•kON=-b2a2,可得y1x1•y2x2=-14,化為4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得:2m2=1+4k2.把m2=1+4k22代入|MN|,可得|MN|=2√2(1+k2)√1+4k2,原點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|√1+k2.即可得出.S△MON=12|MN|d=1為定值.
(ii)當(dāng)l⊥x軸時(shí),由(i)可得:→OM•→ON=x20−y20.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),可得:→OM•→ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=5m2−4k2−41+4k2.把m2=1+4k22代入→OM•→ON,化簡(jiǎn)整理即可得出.
解答 解:(I)∵橢圓C的離心率為√32,P(√2,√22)在橢圓C上.∴ca=√32,2a2+122=1,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=2,b=1,c=√3,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.
(II)(i)證明:當(dāng)l⊥x軸時(shí),設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),則x204+y20=1,由kOM•kON=-b2a2,可得y0x0×−y0x0=-14,聯(lián)立解得:{x0=√2y0=±√22,{x0=−√2y0=±√22,∴S△MON=12×√2×√2=1.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立{y=kx+mx2+4y2=4,化為:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
△>0,可得1+4k2>m2.
∴x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2,
則|MN|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[64k2m2(1+4k2)2−4(4m2−4)1+4k2]=4√(1+k2)(1+4k2−m2)1+4k2.
由kOM•kON=-b2a2,可得y1x1•y2x2=-14,化為4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2=0,即(1+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0,
∴(1+4k2)(4m2−4)1+4k2-32k2m21+4k2+4m2=0,化為:2m2=1+4k2.
把m2=1+4k22代入|MN|,可得|MN|=2√2(1+k2)√1+4k2,
原點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|√1+k2.
∴S△MON=12|MN|d=√2√1+4k2×|m|=√2√1+4k2×√1+4k2√2=1.
綜上可得S△MON=1為定值.
(ii)當(dāng)l⊥x軸時(shí),由(i)可得:→OM•→ON=x20−y20=32.
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),可得:→OM•→ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2
=(1+k2)(4m2−4)1+4k2-8m2k21+4k2+m2=5m2−4k2−41+4k2.
把m2=1+4k22代入可得:→OM•→ON=12×12k2−31+4k2=32-31+4k2.
由△>0,可得1+4k2>1+4k22恒成立,∴k∈R.∴→OM•→ON∈[−32,32).
綜上可得:→OM•→ON∈[−32,32].
∴→OM•→ON的最小值為−32,最大值為32.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | f(x)=x−1x | B. | f(x)=ex-1 | C. | f(x)=x+4x | D. | f(x)=tanx |
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A. | x24+y22=1 | B. | y24+x22=1 | C. | x2+y2=1 | D. | y24−x22=1 |
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A. | 23π+4 | B. | 2π+4 | C. | π+4 | D. | π+2 |
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A. | 2 | B. | 1 | C. | -1 | D. | -2 |
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