Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-a|-ax+1（a∈R）（1）當a＜0時，f（x）在[-2，-1]上是單調(diào)函數(shù)
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值M（a）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由a＜0，得到f（x）=x²-ax-a+1，求其對稱軸，根據(jù)f（x）在[-2，-1]上是單調(diào)函數(shù)即可求得a的取值范圍；
（2）為去絕對值，所以討論a的取值：分成a≤0，0＜a＜1，a≥1三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出每種情況下的f（x）的最大值，從而可最后寫出最大值M（a）．

解答： 解：（1）a＜0時，f（x）=x²-ax-a+1；
該函數(shù)對稱軸為x=

a

2

；
∵f（x）在[-2，-1]上是單調(diào)函數(shù)；
∴

a

2

≤-2，或

a

2

≥-1；
∴a≤-4，或-2≤a＜0；
∴a的取值范圍為（-∞，-4]∪[-2，0）；
（2）①若a≤0，f（x）=x²-ax-a+1；
對稱軸為x=

a

2

；
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴此時，f（x）的最大值為f（1）=2-2a；
②若0＜a＜1；
x∈[0，

a

）時，f（x）=-x²-ax+a+1，f（x）在[0，

a

）單調(diào)遞減，最大值為f（0）=a+1；
x∈[

a

，1]時，f（x）=x²-ax-a+1，對稱軸

a

2

＜

a

，f（x）在[

a

，1]上單調(diào)遞增，最大值為f（1）=2-2a；
a+1-（2-2a）=3a-1；
∴0＜a≤

1

3

時，a+1≤2-2a，∴此時f（x）的最大值為2-2a；

1

3

＜a＜1時，a+1＞2-2a，∴f（x）的最大值為a+1；
③若a≥1，f（x）=-x²-ax+a+1，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（0）=a+1；
∴綜上得M（a）=

2-2a a≤0，或0＜a≤ 1 3 a+1 a＞ 1 3

．

點評：考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求其最大值．