Question

已知拋物線C₁的方程為y=x²，拋物線C₂的方程為y=2-x²，C₁和C₂交于A，B兩點，D是曲線段AOB段上異于A，B的任意一點，直線AD交C₂于點E，G為△BDE的重心，過G作C₁的兩條切線，切點分別為M，N，求線段MN的長度的取值范圍．

Answer 1

分析：設切點N（x1，x12），M（x2，x22），由題設條件推導出3x₁²-6x₁+4x₀-1=0，3x22-6x2+4x0-1=0，由此能求出線段MN的長度的取值范圍．

解答：解：設A（-1，1），B（1，1），D（x0，x02），（-1＜x₀＜1），…（2分）
直線AD：y=（x₀-1）x+x₀，代入y=2-x²，
E（2-x₀，-x02+4x₀-2），D（1，

4x0-1

3

），
設切點N（x1，x12），M（x2，x22），
2x₁=

4x1-1 3 -x12

1-x1

，3x₁²-6x₁+4x₀-1=0，
同理，3x22-6x2+4x0-1=0，
則x₁，x₂是方程3x²-6x+4x₀-1=0的兩根，…（6分）
∴|NM|=

(x12-x12)2+(x1-x2)2

=

4 15

3

1-x0

，（-1＜x₀＜1）…（10分）
則|MN|∈（0，

4 30

3

）．…（12分）

點評：本題考查線段長度的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．