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19.已知函數(shù)y=lg(1-2cos2x)
①求函數(shù)的最小正周期.
②定義域和值域.
③判斷函數(shù)的奇偶性.
④求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析 分別根據(jù)函數(shù)周期性,奇偶性,定義域和值域,單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

解答 解:①由1-2cos2x>0,得cos2x<12,
∵函數(shù)y=1-2cos2x的周期是π,
∴函數(shù)y=lg(1-2cos2x)的最小正周期是π.
②由1-2cos2x>0,得cos2x<12,
\frac{π}{3}+2kπ<2x<\frac{5π}{3}+2kπ,
\frac{π}{6}+kπ<x<\frac{5π}{6}+kπ,即函數(shù)的定義域?yàn)椋?\frac{π}{6}+kπ,\frac{5π}{6}+kπ),k∈Z, ∵0<1-2cos2x≤3, ∴l(xiāng)g(1-2cos2x)≤lg3, 即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞,lg3]. ③函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 則f(-x)=lg(1-2cos2x)=f(x),則函數(shù)是偶函數(shù). ④設(shè)t=1-2cos2x,當(dāng)\frac{π}{3}+2kπ<2x≤2kπ+π,即\frac{π}{6}+kπ<x≤kπ+\frac{π}{2}時(shí),v=cos2x為減函數(shù),函數(shù)t=1-2v為減函數(shù),而y=lgt為增函數(shù),則此時(shí)函數(shù)y=lg(1-2cos2x)為增函數(shù), 當(dāng)2kπ+π≤2x<\frac{5π}{3}+2kπ,即kπ+\frac{π}{2}≤x<\frac{5π}{6}+kπ時(shí),函數(shù)v=cos2x為增函數(shù),t=1-2v為減函數(shù),而y=lgt為增函數(shù),則此時(shí)函數(shù)y=lg(1-2cos2x)為減函數(shù), 即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+\frac{π}{2},\frac{5π}{6}+kπ),函數(shù)的增區(qū)間為(\frac{π}{6}+kπ,kπ+\frac{π}{2}$],k∈Z.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合考查,利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).

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