Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，O是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）在線段CC₁上是否存在點(diǎn)D，使得OD∥平面A₁C₁B，若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若AA₁=A₁B=AC=BC，AA₁與平面ABC所成的角為

π

4

，求二面角O-A₁C₁-A的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）線段CC₁上存在點(diǎn)D，當(dāng)D為線段CC₁中點(diǎn)時，OD∥平面A₁C₁B．取BC中點(diǎn)E，連結(jié)OD、DE、OE，由三角形中位線定理能證明平面ODE∥平面A₁C₁B，從而得到OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)F，連結(jié)OF，F(xiàn)A₁，AA₁與平面ABC所成的角為∠A₁AB=45°，由已知條件推導(dǎo)出∠OA₁F是二面角O-A₁C₁-A的平面角，由此能求出二面角O-A₁C₁-A的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）線段CC₁上存在點(diǎn)D，當(dāng)D為線段CC₁中點(diǎn)時，OD∥平面A₁C₁B．
證明如下：
取BC中點(diǎn)E，連結(jié)OD、DE、OE，
∵DE是△BCC₁的中位線，∴DE∥BC₁，
∵OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，又AC∥A₁C₁，∴OE∥A₁C₁，
∴平面ODE∥平面A₁C₁B，
∵OD?平面ODE，∴OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)F，連結(jié)OF，F(xiàn)A₁，
∵AA₁=A₁B，O是AB的中點(diǎn)，∴A₁O⊥AB，
又平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，
則AA₁與平面ABC所成的角為∠A₁AB=45°，
且A₁O⊥AC，
∵AA₁=A₁B=AC=BC，
∴△A1AB ，△ABC均為等腰直角三角形，
∵OF是△ABC的中位線，∴OF⊥AC．
∴AC⊥平面A₁OF，
∵AC∥A₁C₁，∴A₁C₁⊥平面A₁OF，
∴A₁C₁⊥OG，∴A₁C₁⊥AO，
∴∠OA₁F是二面角O-A₁C₁-A的平面角，
在Rt△A₁OF中，OF=

1

2

BC，A1O=

2

2

BC，
∴tan∠OA1F=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查滿足直線與平面平行的點(diǎn)是否存在的判斷，考查二面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．