已知函數(shù)g(x)=loga(1-x),h(x)=loga(x+3)(0<a<1)
(1)設(shè)f(x)=g(x)-h(x),用定義證明函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù);
(2)設(shè)F(x)=g(x)+h(x),若函數(shù)F(x)的值域是[-2,+∞),求a的值.
考點(diǎn):對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)f(x)=g(x)-h(x)=loga(1-x)-loga(x+3)=loga
1-x
x+3
,由
1-x>0
3+x>0
,得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?3,1),由此能證明函數(shù)f(x)在(-3,1)上是增函數(shù),
(2)F(x)=loga(-x2-2x+3),由-3<x<1,得-x2-2x+3=-(x+1)2+4∈(0,4].由此能求出a.
解答: 解:(1)∵g(x)=loga(1-x),h(x)=loga(x+3)(0<a<1),
∴f(x)=g(x)-h(x)=loga(1-x)-loga(x+3)=loga
1-x
x+3
,
1-x>0
3+x>0
,得-3<x<1,
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?3,1),
設(shè)-3<x1<x2<1,μ(x)=
1-x
3+x
,
μ(x1)-μ(x2)=
1-x1
3+x1
-
1-x2
3+x2
=
4(x2-x1)
(3+x1)(3+x2)
,
∵-3<x1<x2<1,∴(3+x1)(3+x2)>0,x2-x1>0,
4(x2-x1)
(3+x1)(3+x2)
>0
,即μ(x1)>μ(x2)>0,
又∵0<a<1,∴l(xiāng)ogaμ(x1)<logaμ(x2),
即f(x1)<f(x2),∴函數(shù)f(x)在(-3,1)上是增函數(shù),
(2)F(x)=loga(1-x)+loga(x+3)
=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3),
∵-3<x<1,∴-x2-2x+3=-(x+1)2+4∈(0,4].
又0<a<1,∴loga(-x2-2x+3)≥loga4=-2,
解得a=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)是增函數(shù)的證明,考查實(shí)數(shù)值a的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2px(p>0)與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),且A,B,F(xiàn)共線則該橢圓的離心率為( 。
A、
2
-1
B、2(
2
-1
C、
5
-1
2
D、
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2處取得極值,并且它的圖象與直線y=-3x+3在點(diǎn)(1,0)處相切,當(dāng)x∈[-3,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=2+2sinα
(α為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為
x=2+2cosβ
y=2sinβ
(β為參數(shù)),M是C1上的點(diǎn),P是C2上的點(diǎn),且滿足
OP
=2
OM

(Ⅰ)求C1和C2的公共弦長(zhǎng);
(Ⅱ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,求M,P的極坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
,1).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線l過橢圓的上焦點(diǎn),交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),已知
m
=(ax1,by1),
n
=(ax2,by2),若
m
n
,求直線l的斜率k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某高校在2014年自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100]得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)分別求第3,4,5組的頻率;
(2)若該校決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,
(。┮阎獙W(xué)生甲和學(xué)生乙的成績(jī)均在第三組,求學(xué)生甲和學(xué)生乙恰有一人進(jìn)入第二輪面試的概率;
(ⅱ)學(xué)校決定在這已抽取到的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官L的面試,設(shè)第4組中有ξ名學(xué)生被考官L面試,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)化簡(jiǎn):(2a
2
3
b
1
2
)(-6a
1
2
b
1
3
)÷(-3a
1
6
b
5
6
);
(2)已知log83=p,log35=q,則lg5的值為多少?(用p、q表示).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b為何值時(shí),(a-3+b)x2+bx+3≥0的解集為R?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinx-
3
cosx+2,向量
a
=(2,-cosα),
b
=(1,cot(α+
π
2
))(0<α<
π
4
)且
a
b
=
7
3

(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[
3
,
3
]上的最值;
(Ⅱ)求
2cos2α-sin2(α+π)
cosα-sinα
的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案