Question

17．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^ax（a為實數(shù)），且f（1）=$\frac{5}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（3）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件利用待定系數(shù)法進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明，
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax（a為實數(shù)），且f（1）=$\frac{5}{2}$．
∴f（1）=2+2^a=$\frac{5}{2}$．得2^a=$\frac{1}{2}$，即a=-1，
則函數(shù)f（x）的解析式f（x）=2^x+2^-x；
（2）f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)0≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$），
∵y=2^x是增函數(shù)，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，又1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．