Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足cos2C-cos2A=2cos（$\frac{π}{6}$-C）cos（$\frac{π}{6}$+C）．
（1）求角A的大�。�
（2）若A＜$\frac{π}{2}$，BC=$\sqrt{3}$，且sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知可解得：cos2A=-$\frac{1}{2}$，結合2A∈（0，2π），可得A的值．
（2）sinA+sin（B-C）=2sin2C，求出C，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）∵cos2C-cos2A=2cos（$\frac{π}{6}$-C）cos（$\frac{π}{6}$+C）=$\frac{3}{2}$cos²C-$\frac{1}{2}$sin²C=$\frac{1}{2}$+cos2C，
∴-cos2A=$\frac{1}{2}$，解得：cos2A=-$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），
∴當2A=$\frac{2π}{3}$時，解得：A=$\frac{π}{3}$，當2A=$\frac{4π}{3}$時，解得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）得A=$\frac{π}{3}$，
∵sinA+sin（B-C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，
∴2sinBcosC=4sinCcosC，
∴cosC=0或sinB=2sinC，
∴C=90°或sin（120°-C）=2sinC，
∴C=90°或30°，
C=90°，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
C=30°，BC=$\sqrt{3}$，AB=1，S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了和、差角正弦公式的應用，屬于中檔題．